Optimisation déterministe (MT2CM010)
cours: 15h TD: 15h
Programme:
Rappels sur l'optimisation différentiable et la dualité lagrangienne, ADMM, algorithme de Krasnosel'skii-Mann, accélération de Nesterov, descente de sous-gradient projeté et autres méthodes basiques d'optimisation non différentiable, résolvante et opérateur proximal, algorithme du point proximal, algorithme explicite-implicite (FISTA), algorithme de Douglas-Rachford, transformée de Legendre-Fenchel, dualité de Legendre-Rockafellar, algorithme dual, algorithme primal-dual (Chambolle-Pock, PAPC).
Algorithmes stochastiques (MT2CM020)
cours: 15h TD: 15h
Programme:
La définition classique des algorithmes en fait des processus déterministes : avec les mêmes données, la même suite d'opérations sera exécutée. Il s'avère que, dans certains cas, introduire de l'aléa dans la suite d'instructions définissant un algorithme peut s'avérer bénéfique. L'algorithme obtenu est alors appelé algorithme stochastique. Dans ce cours, nous étudierons des algorithmes stochastiques essentiels : l'algorithme EM (qui n'est pas, stricto sensu, un algorithme stochastique, mais est lié, dans sa conception, à ceux-ci), la méthode de Monte Carlo, l'échantillonnage préférentiel, l'algorithme de Hasting-Metropolis et le recuit simulé. Les deux derniers algorithmes appartiennent à la catégorie des algorithmes de type Markov Chain Monte Carlo (MCMC), construits à partir d'une chaîne de Markov. Les tâches effectuées par les algorithmes étudiés dans ce cours sont : l'estimation de paramètres ou de distributions, le calcul d'intégrales ou de quantités associées à des espérances, la simulation de variables aléatoires et processus suivant des lois données et l'optimisation de fonctions.
Apprentissage en grande dimension (MT2CM040)
cours: 15h TD: 15h
Programme:
De nos jours, de nombreux jeux de données, que ce soit par exemple en biologie ou en image, font intervenir des centaines, milliers voir millions de variables. Les méthodes d'apprentissage et les statistiques sous-jacentes doivent être adaptées à ce phénomène, car les méthodes habituelles en petite dimension ne sont pas efficaces. Des choix doivent notamment être faits entre prédiction et sélection de variables. Les différentes méthodes abordées seront illustrées en TP.
Programme :
1. Introduction: en quoi la grande dimension ne peut pas être traitée comme la petite dimension
2. Grande dimension et abondance de données: réseaux de neurones, deep learning
3. Grande dimension et peu de données: réduction de dimension (ACP, PLS)
4. Grande dimension et peu de données: méthodes de vraisemblance pénalisée (Ridge, Lasso, modèles graphiques gaussiens)
Equations de transport (MT2CM050)
Equations de transport (MT2CM050)
cours: 15h TD: 15h
Programme:
- Introduction : exemples issus de la physique et de la biologie
- Solutions classiques de l'équation de transport : méthode des caractéristiques
- Solutions faibles de l'équation de transport : chocs et détentes, solutions entropiques
- Propriétés des schémas : consistance, stabilité, convergence
- Simulations numériques (Différences finies.
Mouvement brownien et calcul stochastique (MT2CM060)
Mouvement brownien et calcul stochastique (MT2CM060)
cours: 15h TD: 15h
Programme:
Les équations différentielles sont un formalisme mathématique qui permet de
comprendre l'évolution des systèmes (physiques, chimiques, biologiques, démographiques,
économiques, informatiques,...) au cours du temps. Il apparaît dans de nombreux contextes
applicatifs que ce formalisme ne tient pas assez compte d'un certain aléa dû par exemple aux
erreurs de mesure ou à l'évolution du milieu au cours du temps. L'objet de ce cours est d'expliquer
comment y remédier en introduisant du bruit (ou, plus généralement, de l'aléa) dans les équations
différentielles. De nombreux exemples issus de la biologie, de l'économie ou de la physique illustrent
le propos. Le cours comprend une partie programmation, en R, en Scilab ou en Python (au choix).
Les élèves qui le souhaitent pourront être initiés à Python, langage facile mais puissant, très utilisé à la fois dans le monde académique et dans l'industrie.
Le plan du cours est le suivant: Variables, vecteurs et processus gaussiens. - Mouvement brownien. -
Calcul stochastique et formule d'Itô. - Equations différentielles stochastiques (introduction,
générateurs et ien avec les chaines de Markov discrètes).
Des applications à la biologie, l'économie ou la physique sont données dans chaque chapitre.
Modèles poissoniens et processus markoviens (MT2CM070)
Modèles poissoniens et processus markoviens (MT2CM070)
cours: 15h TD: 15h
Programme:
Les processus de Poisson sont des ensembles aléatoires de points dans l'espace
qui servent à l'élaboration de nombreux modèles géométriques. Nous étudierons via des exemples
les proprieties statistiques géométriques du processus booléen, modèle polyvalent qui sert pour
l'étude des milieux poreux et des tissus, et des champs shot-noise, utilisés en imagerie ou en
médecine. On évoquera également d'autres processus permettant de modéliser plus fidèlement la
répulsion ou le clustering de particules, comme lesmesures de Gibbs ou les processus
determinantaux.
Les systèmes de particules en interaction sont des 'modèles jouets' utilisés en physique statistique
ou en biologie. Ce sont des processus de Markov en temps continu, où l'évolution temporelle de
chaque particule est régie par son interaction spatiale avec les autres particules. Après l'étude des
processus markoviens de saut qui décrivent l'évolution d'une seule particule (construction,
générateurs, semi-groupes, mesures invariantes; exemples), nous introduirons les systèmes de
particules au travers de deux modèles caractéristiques, le processus d'exclusion simple (qui
modélise par exemple des flux de voitures), et le processus de contact (qui modélise des
propagations d'infections).
Statistique non paramétrique (MT2CM080)
Statistique non paramétrique (MT2CM080)
cours: 15h TD: 15h
Objectifs :
L'objectif de ce cours est de présenter aux étudiants différentes méthodes d'estimation fonctionnelle. Ces méthodes peuvent être utilisées de façon autonomes ou bien afin de permettre de choisir un modèle paramétrique plus simple et plus facile à présenter à des professionnels ou des médecins.
Programme:
Estimation d'une densité par méthode de projection (bases fonctionnelles orthonormées, construction de l'estimateur, étude du biais, de la variance, compromis par sélection de modèle, programmation) - Estimation d'une densité par méthode de noyau (noyau d'ordre quelconque, construction et étude de l'estimateur, compromis biais-variance par sélection de fenêtre, programmation). - Estimation d'une fonction de régression avec les deux méthodes : noyau et projection, étude et comparaison. - Applications en modèles de survie: estimation non paramétrique d'une densité, d'un fonction de risque instantané (hazard rate) dans le cas de modèle avec censure droite, d'une fonction de répartition en présence de censure par intervalle.
Imagerie biomédicale (MT2CM090)
Imagerie biomédicale (MT2CM090)
cours: 15h TP: 15h
Programme:
Ce cours permettra aux étudiants de découvrir l'utilisation de différentes techniques d'analyse d'images appliquées au domaine biomédical. Chaque cours présentera tout d'abord certaines méthodes d'analyse d'images (théorie, algorithme, implémentation), puis proposera aux étudiants de les utiliser dans des cas réels afin d'apprécier leur efficacité (les TPs seront réalisés en Python avec OpenCV).
Une grande partie du cours sera consacrée aux outils de morphologie mathématique (ouverture, fermeture, ligne de partage des eaux). Les méthodes d'analyse d'images abordées auront des applications en débruitage, segmentation, analyse de formes, etc.
L'ensemble permettra aux étudiants d'être capables, à l'issue du cours, de réaliser une chaîne de traitement complète d'une image. L'évaluation des étudiants sera réalisée à l'aide d'un projet à rendre avec un rapport.
Vision par ordinateur et géométrie (MT2CM100)
Vision par ordinateur et géométrie (MT2CM100)
cours: 15h TD: 15h
Programme:
Ce cours aborde différents problèmes d'analyse d'image et de vision par ordinateur. Les séances alternent entre cours et travaux pratiques (langage au choix pour la première partie, langage Python et Open CV pour la deuxième). La validation se fera par un contrôle en classe puis un mini-projet final.
La première partie du cours est centrée sur le traitement et l'analyse de vidéos numériques. Le but est de comprendre les problèmes spécifiques posés par la vidéo et d'apprendre à utiliser des outils mathématiques variés (méthodes variationnelles, edp, statistiques) dans ce contexte.
Programme :
- Estimation du flot optique ;
- Méthode de détection a contrario en vidéo ;
- Points dintérêts et tracking dans les séquences d'images.
La deuxième partie du cours abordera différentes problématiques impliquant l'application de transformations géométriques aux images : recalages d'images, détection d'objets, reconstruction 3D.
Programme :
- Modèles de déformations : transformations rigides, affines, homographiques, élastiques. Application d'un champ de déformation sur une image discrète.
- Mesures de similarité entre points ou nuages de points, modèles d'appariement associés.
- Extraction de points d'intérêt par descripteurs locaux, et appariement des points d'intérêt : méthode SIFT. Détection d'objets dans une image basé sur la méthode SIFT et l'algorithme RANSAC.
- Quelques notions de géométrie épipolaire pour les problèmes de reconstruction tri-dimensionnelle.
Problèmes inverses (MT2CM110)
Problèmes inverses (MT2CM110)
cours: 15h TD: 15h
Programme:
L'objectif de ce cours sera d'apprendre à formuler puis à résoudre des problèmes inverses dédiés à des tâches de traitement d'images telles que le débruitage, le déflouage, l'extrapolation de spectre, etc.
Bien souvent, de tels problèmes mettent en jeu le calcul d'un minimiseur d'une fonctionnelle convexe mais non-différentiable. Le calcul numérique de tels minimiseurs est possible à l'aide d'algorithmes modernes basés sur la dualité et sur le prolongement de la notion de gradient aux fonctionnelles convexes non-différentiables.
On s'intéressera en particulier à l'algorithme de Chambolle-Pock proposé en 2011, qui offre de rigoureuses garanties mathématiques de convergence. Cet algorithme sera maintes fois mis en uvre sur des problèmes concrets de traitement d'images.
Mots clés: maximum de vraisemblance, maximum a posteriori, moindres carrés régularisés, représentations parcimonieuses, algorithmes primaux-duaux, transformée de Legendre-Fenchel, déconvolution, tomographie.
Perception, acquisition et analyse d'images (MT2CM120)
Perception, acquisition et analyse d'images (MT2CM120)
cours: 15h TD: 15h
Programme:
L'objectif de ce cours est de familiariser les étudiants avec les images numériques, leur formation, leur modélisation et leur représentation, et certains outils d'analyse d'image et de texture. La fin du cours sera consacrée à plusieurs séances sur les méthodes de deep learning pour l'analyse d'image. Les séances alternent entre cours et TP (langages Python ou Matlab).
Programme :
1. Formation et acquisition des images numériques : optique, capteurs, échantillonnage, quantification, dynamique, bruit, liens avec la perception visuelle, couleur
2. Traitement d'images bas niveau : radiométrie, contraste, couleur, balance des blancs, transfert de couleur, imagerie HDR
3. Représentation et synthèse de textures : processus et champs aléatoires, champs gaussiens, shot noise, synthèse par patches, analyse de texture
4. Deep learning pour l'analyse et la synthèse d'images : synthèse de texture, transfert de style, vision.