Mathématiques et calcul 1 (MI01M030)

cours: 36h TD: 60h

Objectifs :

Introduction des outils mathématiques nécessaires dans les autres disciplines scientifiques et développement d'une habileté calculatoire (rappels sur les nombres complexes, introduction à l'algèbre linéaire, calcul vectoriel, notions de suite et de fonction). Éléments de méthodologie : utilisation des symboles mathématiques, manipulation des indices, calcul proportionnel.

Compétences acquises :

Habileté calculatoire, maîtrise des outils élémentaires en algèbre linéaire, arithmétique et en analyse........

Programme:

1 Les nombres complexes, racines n-ièmes ;
2 Fonctions continues, dérivables, fonctions réciproques, TVI, TAF,TR ;
3 Espace vectoriels : calculs vectoriels, applications linéaires, noyau et image ;
4 Suites numériques.

Algorithmique et programmation 1 (MI01M040)

cours: 18h TD: 18h TP: 18h

Objectifs :

L'objectif de ce cours est l'initiation à la programmation et à l'algorithmique. Le langage support est Python.

Les étudiants apprennent dans ce cours à écrire un programme. Ils comprennent ce que signifie code source, langage de programmation, éditer et exécuter un programme, les entrées/sorties, les types de données, les fonctions, pour s'approprier le concept pratique de programmation. L'algorithmique est également abordée par ce cours via des problèmes algorithmiques sur des listes, des tableaux, des chaînes de caractères. Pendant les 12 semaines du cours, un concept de programmation et/ou d'algorithmique est abordé chaque semaine.

Compétences acquises :

Connaissance et construction d'un programme Python: entrées/sorties, variables, affectations, opérateurs, conditions, boucles, listes, chaînes de caractères, tableaux, fonctions, hasard. Algorithmique: tri dans un tableau, recherche de motif dans une chaîne, plus court chemin dans un graphe, etc.

Connaissances de base en informatique (MI01M050)

cours: 12h TP: 12h

Objectifs :

Fournir aux étudiants les connaissances de base en informatique en particulier sur les points suivants :
- Algorithmique et résolution de problèmes
- Architecture des machines et système d'exploitation, en particulier le système Linux

Compétences acquises :

Savoir utiliser un ordinateur sous linux Savoir écrire un algorithme correspondant à un problème élémentaire

Mathématiques et calcul 2 (MI02M150)

cours: 36h TD: 60h

Objectifs :

Introduction des outils mathématiques nécessaires à la poursuite des études en mathématiques et informatique et leurs applications (calcul des intégrales simples, intégrales simples généralisées, séries numériques, matrices, calcul de déterminants). Eléments de méthodologie : entraînements aux différentes formes de raisonnement (récurrence, contre-exemple,...), et à la rédaction.

Compétences acquises :

Savoir calculer une primitive et manipuler l'intégrale simple; reconnaître les intégrales généralisées convergentes ou divergentes par les critères de base. Manipulation des séries numériques. Calcul de déterminants

Programme:

1 Intégrale de f continue sur [a,b] ; 2 D.L., formule de Taylor avec reste intégral ; 3 Matrices et déterminants ; 4 Séries numériques.

Algo et Programmation 2 (MI02M160)

cours: 18h TD: 18h TP: 18h

Objectifs :

Ce cours est la suite du cours d'introduction à la programmation et à l'algorithmique. Le langage support est toujours Python. Les structures de données sont abordées: tableaux, listes, piles, files, graphes. Elles sont utilisées pour manipuler des notions algorithmiques telles que la comparaison, le tri, le balayage, les algorithmes gloutons, la recherche par dichotomie, le codage. Chaque nouvelle notion introduite est illustrée par des exemples.

Compétences acquises :

Maîtrise des notions d'algorithmie en Python, d'analyse de problèmes par décomposition en tâches élémentaires et choix des structures. Création de programmes Python simples, non triviaux résolvant des problèmes algorithmiques classiques.

Numération et logique (MI02M170)

cours: 12h TD: 12h

Objectifs :

Principes de la numération et de la représentation des nombres (entiers, réels, booléens) en informatique. Les mécanismes élémentaires de la logique booléenne et les bases du raisonnement déductif. Étude des définitions récursives des structures de séquence et d'arbre ; construction de programmes récursifs.

Compétences acquises :

Savoir utiliser des données numériques quelle que soit la base et le format utilisé. Savoir passer de l'énoncé d'un problème simple à sa résolution informatique.

Algèbre 3 (MT03M010)

cours: 24h TD: 42h

Objectifs :

Ce cours a pour objet l'étude des espaces vectoriels : cas de la dimension finie, connexion avec le calcul matriciel, théorie spectrale élémentaire, espace vectoriel de polynômes.

Compétences acquises :

savoir utiliser la structure d'un espace vectoriel, le calcul matriciel et la théorie spectrale élémentaire.

Programme:

* Structure d'espace vectoriel * Exemple des polynômes, division euclidienne, théorème de Bezout * Applications linéaires et représentation matricielle * Théorie élémentaire du déterminant * Éléments propres et diagonalisation

Analyse 3 (MT03M020)

cours: 24h TD: 42h

Objectifs :

L'objectif de ce module est de présenter les bases du calcul infinitésimal en analyse à travers l'étude des suites et séries numériques et fonctions d'une variable réelle. Par ailleurs, une place importante est donnée à la manipulation des quantificateurs, à la rédaction de démonstrations et à la méthodologie dans des problèmes concrets (nature de série, etc).

Compétences acquises :

Maîtrise des théorèmes classiques d'analyse réelle et de leurs démonstrations, savoir appliquer la notion de limite, rédaction d'un exercice d'analyse avec utilisation des quantificateurs.

Programme:

Propriétés de l'ensemble des réels, notion d'intervalle et de borne supérieure; formalisme des suites, définition et théorèmes de convergence, sous-suites, valeurs d'adhérence, suites de Cauchy, rappel des notations, « O », « o », équivalence; fonctions de la variable réelle, continuité, continuité uniforme, dérivabilité, formules de Taylor; Équations différentielles linéaires du premier et second ordre, variations de constantes.

Introduction aux probabilités (MT03M030)

cours: 18h TD: 30h TP: 12h

Objectifs :

Après des rappels et compléments de dénombrement, l'objectif est d'introduire la notion de modèle probabiliste et les notions de base de la théorie des probabilités : indépendance et probabilités conditionnelles, variables aléatoires discrètes ou à densité (loi, espérance, variance, fonctions de répartition).

Compétences acquises :

Grâce aux outils introduits en mathématiques l'étudiant.e peut approfondir sa connaissance des lois de probabilités classiques et des notions élémentaires en probabilités et statistiques: modéliser une expérience aléatoire, déterminer la loi d'une variable aléatoire, calculer son espérance et sa variance, étudier des phénomènes de convergence.

Programme:

- notions de probabilité, espace des événements, probabilité uniforme et dénombrement
- probabilités conditionnelles, formule de Bayes, indépendance
- variable aléatoire (discrète et continue), loi d'une variable
- espérance, écart-type, variance d'une variable aléatoire
- exemples de lois: Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson, normale, exponentielle
- lois jointes, marginales et conditionnelles, variables indépendantes
- convergences et théorèmes limites: loi des grands nombres, théorème central limite
- en TP: utilisation du logiciel R, simulation de variables aléatoires, méthode de Monte-Carlo

Algèbre 4 (MT04M010)

cours: 18h TD: 24h

Objectifs :

Ce cours est constitué de 3 parties. La première complète les notions acquises en algèbre 3 en traitant de la réduction des endomorphisme (diagonalisation et triangulation). La seconde, aborde des notions nouvelles d’algèbre bilinéaire, les espaces vectoriels euclidiens sont traités (produit scalaire réel, norme euclidienne, projection orthogonale, endomorphismes orthogonaux, endomorphismes auto adjoints ou symétriques) et cette partie se termine par la réduction des endomorphismes symétriques. La dernière partie traite de l'étude des systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants.

Compétences acquises :

Savoir diagonaliser, trigonaliser une matrice. Maitriser les espaces vectrotiels euclidiens, en particulier : savoir déterminer la projection orthogonale sur un sous-espace, savoir orthogonaliser ou orthonormaliser une famille libre de vecteurs ou une base de l'espace, réduire une matrice réelle symétrique. Savoir résoudre un système différentiel linéaire du premier ordre à coefficients constants.

Programme:

I ) *Réduction des endomorphismes*valeurs et vecteurs propres, polynôme caractéristique, polynôme scindé,Définition* *d'un endomorphisme, d'une matrice diagonalisableDivers théorèmes sur la diagonalisabilitéPolynômes d'endomorphismes, polynômes annulateurs, polynôme minimal.Théorème de Cayley-HamiltonDiagonalisation, suite et finTrigonalisation* : *définition et divers théorèmes*II) *Espaces euclidiens*Définition d'une forme bilinéaire symétrique (fbs). Expression dans une base. Effet d'un changement de base.Définition d'un produit scalaire ; d'un espace euclidien.Norme et distance définies à partir d'un produit scalaire.Orthogonalité, bases orthogonales, orthonormales.Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel.* *Caractérisation par orthogonalité, et par minimum de la distance.Endomorphismes orthogonaux (isométries)Endomorphismes et matrices symétriques/, /réduction.Symétrie orthogonale*. *Relation entre symétries et projecteurs orthogonaux.**III) *Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants*Norme d'une matrice . Fonctions matricielles : limites, continuité, dérivabilité.Exponentielle d'une matrice carrée. Cas des matrices diagonales ; matrices semblables.La formule de dérivation de fonctions matricielles. Dérivation de la fonction exp(tA)L'espace vectoriel des solutions d'un SD homogène.Pour un SD avec second membre, existence d'une solution unique prenant en 0 des valeurs données (par variation de la constante)Solution d'un SD homogène X'(t) = A X(t) , A matrice carrée constante.Cas particulier : matrice diagonalisable, trigonalisable.

Analyse pour l'ingénieur 1 (MT04M060)

cours: 18h TD: 30h

Objectifs :

Consolider les bases mathématiques nécessaires aux études en Mathématiques Appliquées.Le cours traitera essentiellement de l'étude des fonctions de plusieurs variables.Le poids est mis sur la compréhension des définitions et la capacité de mener des calculs...

Compétences acquises :

L'étudiant saura comprendre et manipuler des problèmes à plusieurs variables, ceci lui permettra d'aborder en particulier les enseignements de statistiques et d'économie.

Programme:

* Compléments d'analyse ;
* Fonctions de plusieurs variables réelles : domaine de définition, limites, continuité ;
* Fonctions de plusieurs variables : différentiation et dérivées partielles ;
* Applications : Formule de Taylor et extremums locaux de fonctions de deux variables réelles ;
* Intégrales multiples : définition et calcul, théorèmes de Fubini et du changement de variables ;

Introduction aux statistiques (MT04M080)

cours: 18h TD: 24h TP: 12h

Objectifs :

Il s’agit d’une initiation à l'inférence statistique qui comprend :- Une introduction à l’estimation (estimation ponctuelle  et intervalles de confiance)- Une introduction à la théorie des tests (comparaison de proportion, tests non paramétriques, tests multiples)

Compétences acquises :

Notions élémentaires indispensables à toute analyse statistique.

Programme:

* Rappels de probabilités * Introduction à l'estimation 1. estimation ponctuelle 2. intervalles de confiance * Introduction à la théorie des tests 1. présentation du problème 2. comparaison de proportions 3. revue de tests non paramétriques 4. tests multiples

Environnement de calcul scientifique 4 (MT04M030)

cours: 12h TD: 18h

Objectifs :

Introduction aux logiciels de calcul scientifique par l'exemple de Octave. En manipulant Ocatve, on explique le fonctionnement et les limites d'un tel outil numérique. Ceci permet d'illustrer les problèmes pratiques et théoriques posés par le calcul numérique et fournit une introduction à l'analyse numérique.

Compétences acquises :

Maîtrise d'un logiciel de calcul scientifique proche de ceux utilisés en industrie.Compréhension des problématiques du calcul numérique : précision et complexité des calculs.

Programme:

*Prise en main de Octave. Définition des objets : scalaires, matrices, polynômes, ... ; Calcul matriciel et opérations élément par élément ; Représentations graphiques de fonctions, courbes dans le plan et l'espace ; Éléments de programmation.* Introduction aux méthodes numériques : Méthode de Horner ; Interpolation polynomiale ; Intégration numérique ; Résolution de systèmes linéaires.

Anglais (MT04M040)

cours: 12h TD: 24h

Programme:

Le cours a pour but de consolider les capacités d'expression et de compréhension orale et écrite des étudiants. Les exercices seront largement basés sur des épreuves de type TOEFL (textes et CD ayant pour environnement le monde universitaire et étudiant). Initiation à l'anglais scientifique (généraliste).

Analyse pour l'ingénieur 2 (MT05M110)

cours: 24h TD: 30h

Objectifs :

Ce cours s'intéresse à l'étude des équations différentielles linéaires, Introduction au cas non linéaire par la linéarisation au voisinage d'un équilibre, exemple de cycle limite (Lokta-volterra), schema d'euler, euler implicite. Décomposition d'un signal périodique en série de Fourier, quelques théorèmes de convergence et quelques anomalies. Polynômes orthogonaux relativement à une mesure (uniforme, gaussienne,...). Application à la minimisation d'une intégrale.

Compétences acquises :

Les outils présentés dans ce cours seront utiles dans de nombreux domaines : statistiques, économie, modélisation de problèmes en biologie,...

Programme:

Séries entières ; Séries de Fourier ; Équations différentielles, résolution numérique,

Espaces euclidiens et optimisation (MT05M120)

cours: 24h TD: 30h

Objectifs :

Il s'agit d'introduire les techniques euclidiennes et différentielles qui permettent de formaliser des problèmes d'optimisation. On fera le lien entre outils mathématiqueset des applications en économie, statistique.

Compétences acquises :

L'étudiant maîtrise les outils théoriques de bases permettant de modéliser des problèmes d'optimisation venant des statistiques, de l'économie et des sciences expérimentales.

Programme:

* Normes et espaces euclidiens ;* Théorème de projection et applications : méthode des moindres carrés ;* Optimisation sous contraintes : Critères nécessaires et suffisants d'extremums ;* Caractérisation des fonctions convexes ;* Multiplicateurs de Lagrange

Probabilités 5 (MT05M030)

cours: 24h TD: 30h TP: 12h

Objectifs :

Ce cours aborde les vecteurs aléatoires : fonction caractéristique, cas gaussiens, théorème limite

Compétences acquises :

Utilisation de vecteurs aléatoires (cas gaussien, fonction de répartition) et des théorèmes limite.

Programme:

1. Vecteurs aléatoires à densité* Lois* Fonctions de répartition* Changement de variables* Paramètres fondamentaux2. Fonctions caractéristiques3. Cas gaussien.4. Approche élémentaire des théorèmes limites

Environnement de calcul scientifique 5 (MT05M040)

cours: 12h TD: 18h

Objectifs :

Approfondir les outils appris en ECS4 (Octave) et continuer à programmer et résoudre des
problèmes numériques, i.e. ne pas perdre la main

Compétences acquises :

Maîtrise d'un logiciel de calcul scientifique proche de ceux utilisés en industrie.Compréhension des problématiques du calcul numérique : précision et complexité des calculs.

Programme:

En fonction des matières théoriques abordées en S5 : probabilités, analyse de Fourier,...

Anglais (MT05M050)

cours: 12h TD: 24h

Programme:

Le cours a pour but de perfectionner l'apprentissage des 2 années précédentes en travaillant sur des exercices variés portant sur la compréhension de l'anglais écrit et oral. Les exercices seront basés sur des textes de type TOEIC (monde de l'entreprise). Une initiation à la rédaction de CV et de lettres de motivation sera également proposée.

Méthodes numériques (MT06M020)

cours: 18h TD: 24h TP: 12h

Objectifs :

Techniques de résolution de quelques problèmes numériques selon trois points de vue : théorique, algorithmique, et programmation en Octave. Les problèmes étudiés seront extraits de l'analyse numérique matricielle.

Compétences acquises :

Capacité à modéliser numériquement un problème simple, à écrire un programme de résolution, et à évaluer sa complexité et sa fiabilité.

Programme:

1) Notions d'instabilité, erreur d'approximation, erreurs d'arrondi et complexité des calculs
2) Origine des grands systèmes linéaires
3) Rappels et compléments d'algèbre linéaire et analyse matricielle
4) Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
5) Résolution de systèmes linéaires par des méthodes itératives
6) Détermination des valeurs propres d'une matrice

Statistique inférentielle (MT06M060)

cours: 24h TD: 30h

Objectifs :

Le cours permet d'aborder les principaux aspects théoriques de la statistique inférentielle allant de la modélisation à la décision au moyen de tests et d'intervalles de confiance. Il vise à apprendre les grands principes qui permettent de construire des estimateurs et les outils qui garantissent leur bon comportement.

Compétences acquises :

L'étudiant acquerra une connaissance mathématique lui permettant d'être capable, pour un modèle statistique donné, de construire et utiliser des estimateurs pertinents pour les paramètres inconnus. Il développera un savoir-faire sur les modèles statistiques, les méthodes classiques d'estimation, la construction d'intervalles de confiance et la mise en place de tests.

Programme:

1) Introduction aux problèmes statistiques et outils probabilistes utiles (convergences, Delta-méthode)
2) Vecteurs aléatoires, vecteurs gaussiens (et lois associées)
3) Estimation dans un modèles paramétrique, principes généraux. Intervalles de confiance
4) Construction d'estimateur par la méthode des moments
5) Vraisemblance et efficacité
6) Tests d'hypothèse paramétriques.
7) Modèle de régression linéaire.

Transformée de Fourier et applications (MT06M030)

cours: 24h TD: 30h

Objectifs :

Dans la première partie du cours on donnera les rudiments d'analyse fonctionnelle nécessaires pour comprendre la serie et la transformée de Fourier. Notamment, on introduira la notion d'espaces de Hilbert, convergence de suites de fonctions et bases d'Hilbert en s'appuyant sur les résultats de l'algebre linéaire en dimension finie. On s'intéressera ensuite aux propriétés de la transformée de Fourier continue et discrète pour terminer avec des applications à la théorie des signaux 1D (son) et 2D (images) et à la resolution des certain classes remarquables d'equations différentielles en derives partielles.

Compétences acquises :

Ce cours complète les cours d'analyse pour l'ingénieur 1 et 2 en fournissant des outils mathématiques nécessaires pour aborder des problèmes en dimension infinie.

Programme:

1) Rudiments d'analyse fonctionnelle, notamment: espaces d'Hilbert et leur propriétés geometriques, convergence de suites de fonctions, base d'Hilbert. 2) Transformée et serie de Fourier et leur propriétés. 3) Applications au traitement des signaux et à la resolution des equations différentielles en derives partielles remarquables de la physique-mathématique.

Logiciels de statistique (MT06M080)

cours: 12h TP: 30h

Objectifs :

Il s'agit d'apporter aux étudiants la maîtrise des logiciels SAS et R : SAS est très utilisé en entreprise pour traiter de grandes masses de données, cependant que R permet d'accéder aux développements méthodologiques les plus récents.

Compétences acquises :

Les étudiants seront capables d'étudier un jeu de données réaliste par des méthodes statistiques paramétriques. Ils seront aussi capables de consulter la documentation de ces logiciels pour explorer des analyses qui n'auront pas été enseignées en cours.

Programme:

Séances SAS Environnement SAS, création de tables de données, stockage, export Procédures élémentaires, jointure de tables Corrélation, régression simple et multiple Régression avec variables discrètes Comparaison d'échantillons Analyse en composantes principales Utilisation de l'interface graphique Modélisation et simulation d'un phénomène physique simple Séances RSéances R Manipulation de données et modèle linéaire élémentaires Manipulation de données et modèle linéaire évolués Simulations et tests Analyse en composantes principales, classification ascendante hiérarchique