Mathématiques et calcul 1 (MI01M030)

cours: 36h TD: 60h

Objectifs :

Introduction des outils mathématiques nécessaires dans les autres disciplines scientifiques et développement d'une habileté calculatoire (rappels sur les nombres complexes, introduction à l'algèbre linéaire, calcul vectoriel, notions de suite et de fonction). Éléments de méthodologie : utilisation des symboles mathématiques, manipulation des indices, calcul proportionnel.

Compétences acquises :

Habileté calculatoire, maîtrise des outils élémentaires en algèbre linéaire, arithmétique et en analyse........

Programme:

1 Les nombres complexes, racines n-ièmes ;
2 Fonctions continues, dérivables, fonctions réciproques, TVI, TAF,TR ;
3 Espace vectoriels : calculs vectoriels, applications linéaires, noyau et image ;
4 Suites numériques.

Algorithmique et programmation 1 (MI01M040)

cours: 18h TD: 18h TP: 18h

Objectifs :

L'objectif de ce cours est l'initiation à la programmation et à l'algorithmique. Le langage support est Python.

Les étudiants apprennent dans ce cours à écrire un programme. Ils comprennent ce que signifie code source, langage de programmation, éditer et exécuter un programme, les entrées/sorties, les types de données, les fonctions, pour s'approprier le concept pratique de programmation. L'algorithmique est également abordée par ce cours via des problèmes algorithmiques sur des listes, des tableaux, des chaînes de caractères. Pendant les 12 semaines du cours, un concept de programmation et/ou d'algorithmique est abordé chaque semaine.

Compétences acquises :

Connaissance et construction d'un programme Python: entrées/sorties, variables, affectations, opérateurs, conditions, boucles, listes, chaînes de caractères, tableaux, fonctions, hasard. Algorithmique: tri dans un tableau, recherche de motif dans une chaîne, plus court chemin dans un graphe, etc.

Connaissances de base en informatique (MI01M050)

cours: 12h TP: 12h

Objectifs :

Fournir aux étudiants les connaissances de base en informatique en particulier sur les points suivants :
- Algorithmique et résolution de problèmes
- Architecture des machines et système d'exploitation, en particulier le système Linux

Compétences acquises :

Savoir utiliser un ordinateur sous linux Savoir écrire un algorithme correspondant à un problème élémentaire

Mathématiques et calcul 2 (MI02M150)

cours: 36h TD: 60h

Objectifs :

Introduction des outils mathématiques nécessaires à la poursuite des études en mathématiques et informatique et leurs applications (calcul des intégrales simples, intégrales simples généralisées, séries numériques, matrices, calcul de déterminants). Eléments de méthodologie : entraînements aux différentes formes de raisonnement (récurrence, contre-exemple,...), et à la rédaction.

Compétences acquises :

Savoir calculer une primitive et manipuler l'intégrale simple; reconnaître les intégrales généralisées convergentes ou divergentes par les critères de base. Manipulation des séries numériques. Calcul de déterminants

Programme:

1 Intégrale de f continue sur [a,b] ; 2 D.L., formule de Taylor avec reste intégral ; 3 Matrices et déterminants ; 4 Séries numériques.

Algo et Programmation 2 (MI02M160)

cours: 18h TD: 18h TP: 18h

Objectifs :

Ce cours est la suite du cours d'introduction à la programmation et à l'algorithmique. Le langage support est toujours Python. Les structures de données sont abordées: tableaux, listes, piles, files, graphes. Elles sont utilisées pour manipuler des notions algorithmiques telles que la comparaison, le tri, le balayage, les algorithmes gloutons, la recherche par dichotomie, le codage. Chaque nouvelle notion introduite est illustrée par des exemples.

Compétences acquises :

Maîtrise des notions d'algorithmie en Python, d'analyse de problèmes par décomposition en tâches élémentaires et choix des structures. Création de programmes Python simples, non triviaux résolvant des problèmes algorithmiques classiques.

Numération et logique (MI02M170)

cours: 12h TD: 12h

Objectifs :

Principes de la numération et de la représentation des nombres (entiers, réels, booléens) en informatique. Les mécanismes élémentaires de la logique booléenne et les bases du raisonnement déductif. Étude des définitions récursives des structures de séquence et d'arbre ; construction de programmes récursifs.

Compétences acquises :

Savoir utiliser des données numériques quelle que soit la base et le format utilisé. Savoir passer de l'énoncé d'un problème simple à sa résolution informatique.

Algèbre 3 (MT03M010)

cours: 24h TD: 42h

Objectifs :

Ce cours a pour objet l'étude des espaces vectoriels : cas de la dimension finie, connexion avec le calcul matriciel, théorie spectrale élémentaire, espace vectoriel de polynômes.

Compétences acquises :

savoir utiliser la structure d'un espace vectoriel, le calcul matriciel et la théorie spectrale élémentaire.

Programme:

* Structure d'espace vectoriel * Exemple des polynômes, division euclidienne, théorème de Bezout * Applications linéaires et représentation matricielle * Théorie élémentaire du déterminant * Éléments propres et diagonalisation

Analyse 3 (MT03M020)

cours: 24h TD: 42h

Objectifs :

L'objectif de ce module est de présenter les bases du calcul infinitésimal en analyse à travers l'étude des suites et séries numériques et fonctions d'une variable réelle. Par ailleurs, une place importante est donnée à la manipulation des quantificateurs, à la rédaction de démonstrations et à la méthodologie dans des problèmes concrets (nature de série, etc).

Compétences acquises :

Maîtrise des théorèmes classiques d'analyse réelle et de leurs démonstrations, savoir appliquer la notion de limite, rédaction d'un exercice d'analyse avec utilisation des quantificateurs.

Programme:

Propriétés de l'ensemble des réels, notion d'intervalle et de borne supérieure; formalisme des suites, définition et théorèmes de convergence, sous-suites, valeurs d'adhérence, suites de Cauchy, rappel des notations, « O », « o », équivalence; fonctions de la variable réelle, continuité, continuité uniforme, dérivabilité, formules de Taylor; Équations différentielles linéaires du premier et second ordre, variations de constantes.

Introduction aux probabilités (MT03M030)

cours: 18h TD: 30h TP: 12h

Objectifs :

Après des rappels et compléments de dénombrement, l'objectif est d'introduire la notion de modèle probabiliste et les notions de base de la théorie des probabilités : indépendance et probabilités conditionnelles, variables aléatoires discrètes ou à densité (loi, espérance, variance, fonctions de répartition).

Compétences acquises :

Grâce aux outils introduits en mathématiques l'étudiant.e peut approfondir sa connaissance des lois de probabilités classiques et des notions élémentaires en probabilités et statistiques: modéliser une expérience aléatoire, déterminer la loi d'une variable aléatoire, calculer son espérance et sa variance, étudier des phénomènes de convergence.

Programme:

- notions de probabilité, espace des événements, probabilité uniforme et dénombrement
- probabilités conditionnelles, formule de Bayes, indépendance
- variable aléatoire (discrète et continue), loi d'une variable
- espérance, écart-type, variance d'une variable aléatoire
- exemples de lois: Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson, normale, exponentielle
- lois jointes, marginales et conditionnelles, variables indépendantes
- convergences et théorèmes limites: loi des grands nombres, théorème central limite
- en TP: utilisation du logiciel R, simulation de variables aléatoires, méthode de Monte-Carlo

Algèbre 4 (MT04M010)

cours: 18h TD: 24h

Objectifs :

Ce cours est constitué de 3 parties. La première complète les notions acquises en algèbre 3 en traitant de la réduction des endomorphisme (diagonalisation et triangulation). La seconde, aborde des notions nouvelles d’algèbre bilinéaire, les espaces vectoriels euclidiens sont traités (produit scalaire réel, norme euclidienne, projection orthogonale, endomorphismes orthogonaux, endomorphismes auto adjoints ou symétriques) et cette partie se termine par la réduction des endomorphismes symétriques. La dernière partie traite de l'étude des systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants.

Compétences acquises :

Savoir diagonaliser, trigonaliser une matrice. Maitriser les espaces vectrotiels euclidiens, en particulier : savoir déterminer la projection orthogonale sur un sous-espace, savoir orthogonaliser ou orthonormaliser une famille libre de vecteurs ou une base de l'espace, réduire une matrice réelle symétrique. Savoir résoudre un système différentiel linéaire du premier ordre à coefficients constants.

Programme:

I ) *Réduction des endomorphismes*valeurs et vecteurs propres, polynôme caractéristique, polynôme scindé,Définition* *d'un endomorphisme, d'une matrice diagonalisableDivers théorèmes sur la diagonalisabilitéPolynômes d'endomorphismes, polynômes annulateurs, polynôme minimal.Théorème de Cayley-HamiltonDiagonalisation, suite et finTrigonalisation* : *définition et divers théorèmes*II) *Espaces euclidiens*Définition d'une forme bilinéaire symétrique (fbs). Expression dans une base. Effet d'un changement de base.Définition d'un produit scalaire ; d'un espace euclidien.Norme et distance définies à partir d'un produit scalaire.Orthogonalité, bases orthogonales, orthonormales.Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel.* *Caractérisation par orthogonalité, et par minimum de la distance.Endomorphismes orthogonaux (isométries)Endomorphismes et matrices symétriques/, /réduction.Symétrie orthogonale*. *Relation entre symétries et projecteurs orthogonaux.**III) *Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants*Norme d'une matrice . Fonctions matricielles : limites, continuité, dérivabilité.Exponentielle d'une matrice carrée. Cas des matrices diagonales ; matrices semblables.La formule de dérivation de fonctions matricielles. Dérivation de la fonction exp(tA)L'espace vectoriel des solutions d'un SD homogène.Pour un SD avec second membre, existence d'une solution unique prenant en 0 des valeurs données (par variation de la constante)Solution d'un SD homogène X'(t) = A X(t) , A matrice carrée constante.Cas particulier : matrice diagonalisable, trigonalisable.

Analyse 4 (MT04M020)

cours: 24h TD: 42h

Objectifs :

Dans la suite directe du cours d'analyse 3, ce cours étend l'étude des suites, des séries, des fonctions ou encore des intégrales à leur équivalent à plusieurs paramètres. Il bâtit les notions nécessaires et étudient les propriétés importantes de tels objets.

Compétences acquises :

Comprendre et savoir démontrer les différentes types de convergence pour les suites et séries de fonctions ; Connaître le cas particulier des séries entières et développer une fonction ; Savoir quand et comment écrire un fonction en série de Fourier ; Reconnaître des intégrales à paramètre et savoir démontrer leur continuité et leur dérivabilité.

Programme:

Suites et Séries de fonctions ; Séries Entières ; Séries de Fourier ; Intégrales dépendant d'un paramètre.

Environnement de calcul scientifique 4 (MT04M030)

cours: 12h TD: 18h

Objectifs :

Introduction aux logiciels de calcul scientifique par l'exemple de Octave. En manipulant Ocatve, on explique le fonctionnement et les limites d'un tel outil numérique. Ceci permet d'illustrer les problèmes pratiques et théoriques posés par le calcul numérique et fournit une introduction à l'analyse numérique.

Compétences acquises :

Maîtrise d'un logiciel de calcul scientifique proche de ceux utilisés en industrie.Compréhension des problématiques du calcul numérique : précision et complexité des calculs.

Programme:

*Prise en main de Octave. Définition des objets : scalaires, matrices, polynômes, ... ; Calcul matriciel et opérations élément par élément ; Représentations graphiques de fonctions, courbes dans le plan et l'espace ; Éléments de programmation.* Introduction aux méthodes numériques : Méthode de Horner ; Interpolation polynomiale ; Intégration numérique ; Résolution de systèmes linéaires.

Anglais (MT04M040)

cours: 12h TD: 24h

Programme:

Le cours a pour but de consolider les capacités d'expression et de compréhension orale et écrite des étudiants. Les exercices seront largement basés sur des épreuves de type TOEFL (textes et CD ayant pour environnement le monde universitaire et étudiant). Initiation à l'anglais scientifique (généraliste).

Fonctions de plusieurs variables (MT04M050)

cours: 12h TD: 18h

Objectifs :

En complément du cours d'analyse 4, on étend les notions d'analyse à des fonctions de plusieurs variables.

Compétences acquises :

Étudier des fonctions de plusieurs variables, leur continuité, leur différentiabilité suivant des directions. Comprendre les différences avec la cas 1D.
Calculer des intégrales multiples.

Programme:

Fonctions de plusieurs variables ;
Intégrales multiples.

Topologie (MT05M010)

cours: 24h TD: 30h

Objectifs :

Apprendre, par une démarche axiomatique, les notions fondamentales de la topologie, en maîtriser ses notions abstraites et son vocabulaire précis.

Compétences acquises :

Maîtrise des notions de la topologie générale qui seront nécessaires pour le calcul différentiel et pour les cours d'analyse de master.

Programme:

1. Espaces métriques, normés
2. Espaces compacts, connexes, complets.
3. Espaces de Hilbert
4. Introduction à l'analyse fonctionnelle

Mesure et intégration (MT05M020)

cours: 24h TD: 30h

Objectifs :

Cette UE propose une présentation de la théorie de l'intégrale de Lebesgue, outil utile (et indispensable) en analyse et en théorie des probabilités. Le but du cours est de faire une
construction précise de cette intégrale puis d'apprendre à la manipuler, dans le cadre de mesures abstraites ainsi que, pour la mesure de Lebesgue, dans le cadre multi-dimensionnel.

Compétences acquises :

La première grande partie de l'UE est consacrée aux espaces mesurés, à la construction de l'intégrale et du cas particulier de la mesure de Lebesgue. Sont ensuite traités les théorèmes de convergence et les intégrales dépendant d'un paramètre, les espaces Lp avec le cas particulier de L2 et des espaces de Hilbert, les théorèmes de changement de variables et de Fubini.

Programme:

- Tribus, mesures, fonctions mesurables
- Intégration des fonctions mesurables
- Théorèmes de convergence (Beppo-Lévi, Fatou, Lebesgue)
- Intégrales dépendant d'un paramètre
- Mesure de Lebesgue, lien avec l'intégrale de Riemann
- Espaces Lp
- Espace et mesure produit, théorème de Fubini
- Théorème de changement de variables.

Probabilités 5 (MT05M030)

cours: 24h TD: 30h TP: 12h

Objectifs :

Ce cours aborde les vecteurs aléatoires : fonction caractéristique, cas gaussiens, théorème limite

Compétences acquises :

Utilisation de vecteurs aléatoires (cas gaussien, fonction de répartition) et des théorèmes limite.

Programme:

1. Vecteurs aléatoires à densité* Lois* Fonctions de répartition* Changement de variables* Paramètres fondamentaux2. Fonctions caractéristiques3. Cas gaussien.4. Approche élémentaire des théorèmes limites

Environnement de calcul scientifique 5 (MT05M040)

cours: 12h TD: 18h

Objectifs :

Approfondir les outils appris en ECS4 (Octave) et continuer à programmer et résoudre des
problèmes numériques, i.e. ne pas perdre la main

Compétences acquises :

Maîtrise d'un logiciel de calcul scientifique proche de ceux utilisés en industrie.Compréhension des problématiques du calcul numérique : précision et complexité des calculs.

Programme:

En fonction des matières théoriques abordées en S5 : probabilités, analyse de Fourier,...

Anglais (MT05M050)

cours: 12h TD: 24h

Programme:

Le cours a pour but de perfectionner l'apprentissage des 2 années précédentes en travaillant sur des exercices variés portant sur la compréhension de l'anglais écrit et oral. Les exercices seront basés sur des textes de type TOEIC (monde de l'entreprise). Une initiation à la rédaction de CV et de lettres de motivation sera également proposée.

Calcul différentiel et systèmes dynamiques (MT06M010)

cours: 24h TD: 30h

Objectifs :

Présenter le calcul différentiel dans Rn, un e.v. normé
Étude de systèmes dynamiques discrets et continus

Compétences acquises :

Comprendre les notions de différentiabilité et calcul différentiel dans Rn.
Manipuler les outils nécessaires à l'étude des systèmes dynamiques discrets et continus.
Comprendre les modélisations faites grâce à ces modèles

Programme:

Calcul différentiel dans Rd :
1. Différentielles
2. Théorème des accroissements finis
3. Différentielles d'ordre supérieur
4. Formules de Taylor
5. Théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites.
6. Extrema
Systèmes dynamiques :
1) Systèmes discrets en dimensions 1 et 2 : orbites, points fixes, variétés locales stables et instables
2) Systèmes continus : flot, théorème de Cauchy-Lipschitz, systèmes différentiels autonomes,
points fixes, stabilité, classification des points fixes en dimension 2, linéarisation, stabilité de Lyapounov

Méthodes numériques (MT06M020)

cours: 18h TD: 24h TP: 12h

Objectifs :

Techniques de résolution de quelques problèmes numériques selon trois points de vue : théorique, algorithmique, et programmation en Octave. Les problèmes étudiés seront extraits de l'analyse numérique matricielle.

Compétences acquises :

Capacité à modéliser numériquement un problème simple, à écrire un programme de résolution, et à évaluer sa complexité et sa fiabilité.

Programme:

1) Notions d'instabilité, erreur d'approximation, erreurs d'arrondi et complexité des calculs
2) Origine des grands systèmes linéaires
3) Rappels et compléments d'algèbre linéaire et analyse matricielle
4) Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
5) Résolution de systèmes linéaires par des méthodes itératives
6) Détermination des valeurs propres d'une matrice

Environnement de calcul scientifique 6 (MT06M120)

TD: 18h

Objectifs :

Approfondir les outils appris en ECS4 et ECS5 (Octave) et continuer à programmer et résoudre des
problèmes numériques, i.e. ne pas perdre la main

Compétences acquises :

Maîtrise d'un logiciel de calcul scientifique proche de ceux utilisés en industrie.Compréhension des problématiques du calcul numérique : précision et complexité des calculs.

Programme:

En fonction des matières théoriques abordées en S5 : résolution d'équations différentielles, de grands systèmes linéaires,...