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PARIS DESCARTES

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Yoann Offret (Institut de mathématiques de Bourgogne, Universite de Bourgogne)

Distributions invariantes et limites d ?échelle pour certaines diffusions dont le milieu est aléatoire et varie avec le temps

Brox (86) a étudié le comportement en temps long d ?une diffusion en environnement aléatoire dont le potentiel (ou milieu) est un brownien unidimensionnel W(x) et a mis en évidence un comportement sous-diffusif. La diffusion X que je présenterai évolue quant à elle dans un milieu dépendant du temps donné par W(x)/t^b. Je montrerai que pour b=1/4 cette diffusion est reliée a une diffusion Y dont le milieu est ergodique et je donnerai le comportement asymptotique de cette diffusion, notamment la convergence vers un flot de distributions aléatoires. L ?idée principale pour obtenir ces résultats est de remarquer que le semi-groupe de Y a une structure de système dynamique aléatoire. Pour b>1/4 le comportement de X est toujours diffusif mais il y a convergence vers la loi normale centrée réduire. En quelque sorte b=1/4 est un point critique (changement de régime) pour la famille de diffusions X. Ceci généralise des résultats précédemment obtenus par M. Gradinaru et Y. Offret pour une famille de diffusions inhomogènes en temps.