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UNIVERSITE

PARIS DESCARTES

MAP5

Variations quadratiques du mouvement brownien fractionnaire

Stage de M2 2012

Laboratoires d’accueil : Laboratoire Mathématiques Appliquées - Paris 5 (MAP5)

Lieu du stage : Laboratoire Mathématiques Appliquées - Paris 5 (MAP5)

Date : le stage aura lieu au cours du deuxième semestre de l’année universitaire 2011-2012

Encadrement : Hermine Biermé (MAP5 - http://www.math-info.univ-paris5.fr...)

Description :

On considère (X(k))_{k\in\Z} une suite gaussienne stationnaire centrée de variance 1 et de covariance

\rho(k):=\mbox{Cov}(X(k+k'),X(k')).

En particulier, chaque X(k) suit une loi {\mathcal N}(0,1). Un estimateur de la variance de cette suite est donnée par \displaystyle \frac{1}{{n}}\sum_{k=0}^{n-1}X(k)^2 et sous certaines conditions on peut obtenir un théorème central limite associé :

F_n=\frac{1}{\sqrt{nv_n}}\sum_{k=0}^{n-1}(X(k)^2-1)\overset{{\mathcal L}}{\rightarrow} N \mbox{ avec }N\sim{\mathcal N}(0,1),

avec \displaystyle v_n=\mbox{Var}\left (\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=0}^{n-1}(X(k)^2-1)\right). Dans le cas où les variables sont indépendantes (\rho=\delta_0), par le théorème de Berry-Esseen (1942), il existe une constante C telle que, pour tout z\in\R,

\left|P(F_n\le z)-P(N\le z)\right|\leq \frac {C\mathbb{E}(|X(1)^2-1|^3)}{\sqrt n}.

En particulier, la distance de Kolmogorov vérifie d_{\rm Kol}(F_n, N):=\sup_{z}\left|\mathbb{P}(F_n\le z)-\mathbb{P}(N\le z)\right|\le C n^{-1/2}. On s’intéresse à une généralisation de ce résultat dans le gas du bruit gaussien fractionnaire où les corrélations sont données par

\rho(k)=\frac{1}{2}\left(|k+1|^{2H}-2|k|^{2H}+|k-1|^{2H}\right),

pour H\in (0,3/4). On peut montrer que d_{\rm Kol}(F_n, N) \le C \left\{\begin{array}{cc} n^{-1/2} & \mbox{ si } 0<H<5/8\\n^{4H-3} & \mbox{ si } 5/8<H<3/4\end{array}\right.. D’autre part, lorsque H\in (0,5/8), on montre également que d_{\rm Kol}(F_n, N) \ge c n^{-1/2}. Le stage consistera d’une part à vérifier expérimentalement ces résultats théoriques en utilisant des simulations exactes de bruits gaussiens fractionnaires et d’autre part à en déduire si la borne 5/8 est optimale.

Prérequis : Probabilités (processus gaussien à temps discret), analyse de Fourier, Matlab ou Scilab

Références
[1 ] H. Biermé, A. Bonami, I. Nourdin and G. Peccati, "Optimal Berry-Esseen rates on the Wiener space : the barrier of third and fourth cumulants", Preprint, (2011).
[2 ] E. Perrin, R. Harba, R. Jennane, and I. Iribarren, "Fast and Exact Synthesis for 1-D Fractional Brownian Motion and Fractional Gaussian Noises", IEEE Signal Processing Letters, 9(11):382–384, (2002).

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