Laboratoires d’accueil : Laboratoire Mathématiques Appliquées - Paris 5 (MAP5)

Encadrement : Ellen Saada (MAP5)

Contact : Ellen Saada (MAP5)

Durée du stage : 4 mois

Rémunération : 417 euros nets par mois

Description : Les `Systèmes à une infinité de particules en interaction’ décrivent, sur un ensemble dénombrable de sites, l’évolution de particules indistinguables soumises à une interaction forte. L’étude de ces systèmes s’effectue modèle par modèle, chacun demandant une approche et des outils spécifiques.

Je propose l’étude d’un article sur un des deux modèles suivants, qui sont exemplaires de la théorie, et utilisés comme `modèles jouet’ en physique statistique :

1. Le processus d’exclusion simple, à travers l’article [1]. Le processus d’exclusion modélise également le trafic routier. Des particules se déplacent sur un réseau, soumises à la règle d’exclusion : il y a au plus une particule sur chaque site du réseau. Dans cet article on détermine les mesures invariantes d’un modèle à plusieurs espèces, grâce à la méthode des matrices" introduite par B. Derrida, et à une correspondance avec un réseau de files d’attente.
2. Le processus de zero range, à travers les articles [2] et [3]. Le processus de zero range peut être interprété comme un réseau de files d’attente. Des particules se déplacent sur un réseau, leur taux de saut dépend de l’occupation du site où elles se trouvent. Il s’agit ici d’étudier le phénomène de "condensation" : hors équilibre, des particules s’accumulent sur certains sites tandis que d’autres sont presque vides.

Références
[1] Martin R. Evans, Pablo A. Ferrari, Kirone Mallick. Matrix representation of the stationary measure for the multispecies TASEP. J. Stat Phys. 135, no. 2 (2009), 201-216.arXiv :0807.0327
[2] Pablo A. Ferrari, Claudio Landim, Valentin V. Sisko. Condensation for a fixed number of independent random variables J. Stat. Phys. 128, no. 5 (2007), 1153-1158. math.PR/0612856
[3] Ines Armendariz, Michail Loulakis. Thermodynamic limit for the invariant measures in supercritical zero range processes. Probab. Theory Relat. Fields, 145 (2009), 175-188.
Le livre principal de référence sur ce thème est :
Liggett T.M. Interacting Particle Systems. Classics in Mathematics (Reprint of first edition), Springer-Verlag, New York, 2005.