Résumé
Les premiers problèmes liés à des points aléatoires dans un disque ou un triangle ont été posés sous la forme de casse-têtes mathématiques il y a à peu près 150 ans. C’est seulement depuis environ 1960 et la découverte d’applications à d’autres domaines scientifiques qu’une vraie théorie des polytopes aléatoires s’est bâtie, à l’intersection de la géométrie convexe et des probabilités. La première partie de l’exposé aura pour but de faire un tour d’horizon non exhaustif des résultats obtenus et questions ouvertes. Nous présenterons d’autre part une méthode générale dite de stabilisation qui permet de montrer des théorèmes limites en géométrie aléatoire. La technique sera ensuite appliquée dans une seconde partie à l’analyse asymptotique des polytopes aléatoires isotropes dans la boule-unité. Les résultats montrés comprendront des convergences en loi de processus et mesures aléatoires caractéristiques de la géométrie des polytopes, des théorèmes centraux limites fonctionnels ainsi que certaines propriétés de dualité. L’exposé sera par ailleurs illustré par des exemples d’applications en statistique et algorithmique.